微積分学の発展 第7回

最大値・最小値の原理

定義

を距離空間とする．

有界

が有界

全有界

が全有界

コンパクト

がコンパクト ※ 中心 ，直径 のボールの中に が入っている状態と考えられる．

強さ

有界 全有界 コンパクト

ボルツァノ-ワイエルシュトラスの定理

ボルツァノ-ワイエルシュトラスの定理

距離空間 について，次の 条件は同値である．

1. は全有界である．
2. の任意の無限列はコーシー部分列を含む．

コーシー列

の点列 がコーシー列であるとは，

証明

1⇒2

が全有界だと仮定する．

点列

幅 以下の で無限個の について， となっている．

各 について をとってくる．

このとき， はコーシー列になっている．

→ よくわからない

2⇒1

対偶を示す．

は全有界でないと仮定すると，ある が存在して，ε-ネットが存在しない．

したがって，任意の点 から始めて，他とは距離 以上を保つ点列を作ることができる．

無限列 の作り方

を適当にとってくる．

どの とも 以上離れている をとってこれたと仮定すると， このときに を作る． と定義すると，上の2式を組み合わせて が得られる．

この はコーシー部分列を含まない．

（ 含むと仮定すると，

となる必要があり，あり得ない．）

よって，このような点列 はコーシー部分列を含まない．