微積分学の発展 第3回

微分積分学の発展 第3回

定義

演算の性質

集合上の2変数関数について 次の性質を考える，

1_結合律

例）

• 結合律を満たす）
  • 足し算
  • 掛け算
• 結合律を満たさない）
  • 引き算：
  • 割り算

2_単位元の存在

例）

• （実数の）足し算の単位元は ：
• （実数の）掛け算の単位元は ：

3_逆元の存在

を関数の単位元とするとき，

をの逆元という．

単射

上の関数全体

関数 が単射とは，

となるもののことである．

つまり，「違う値を入力したら，出力も違う値になる」ということ．（対偶）

全射

関数 が全射とは，

となるもののことである．

はのどこにでも行ける．というイメージ

合成

と の合成 を次のように定義する．

例）関数に関する性質

： 上の全単射全体の集合（ 全単射）とする．

このとき， は群となる．

証明

（結合律）

（単位元の存在）恒等関数：

（逆元の存在）

全単射 の逆元 を次のように定義する．

各 に対して， は全射なので となる が存在．

は単射なので，そのような は1つしか存在しない．

ならば

代数的構造

モノイド

集合との対 がモノイドとは， がモノイドとは，が「結合律」と「単位元の存在」を満たすことである．

例）

• などはモノイドである
• などはモノイドではない

群

集合との対が群であるとは， 「結合律」「単位元の存在」「逆元の存在」を満たすことである．

群であれば，モノイドである．

環

集合 と演算 の組 が環であるとは，

• が群
• がモノイド
• 分配律（ ）

の3つを満たすことである．

体

集合 と演算 の組 が体であるとは，

• が可換環
• 和の単位元 以外の元が積 に対する逆元を持つ

の2つを満たすことである．

順序体

• は体をなす．
• は全順序をなす．
• 和の順序保存性：
• 積の順序保存性：

順序体における絶対値

順序体について， の絶対値 を以下のように定義する．（講義ノートを参照）

補足

は の元を受け取って の元を返す関数である．