微積分学の発展 第5回

連続関数

が連続とは？

20220614_biseki#関数の連続性

に対して，

を求めたい．（ くらいはずれていてもいい）

入力は からどのくらい間違っていてもいいか？→

ちょっと別の見方

実数は無限小数として表せる．（進展開）

例）

（普通の）進展開

を用いて，

符号付き進無限小数展開

を用いて，

普通の無限小数展開は，基本的に表記が一意に定まる．

（ などは特別な場合）

符号付き無限小数展開は，表記が一意に定まらない．

命題

関数 に対して，次の2条件は同値である．

1
は点 で連続である．

2

（符号付き小数展開において）
と が小数点以下 桁目まで等しい と は小数点以下 桁目まで等しい．

つまり， のとき， ととればよい．

一様連続性

普通の連続性

連続 の 桁を求めるのに， の 桁の情報が必要である．

→ じゃあ， の 桁を求めるのにも， の 桁で十分なの？？

普通の連続性だと，入力毎に必要な桁数が変わりうる！

一様連続性

出力の 桁目を求めるために必要な入力の桁数が，どんな入力でも同じ値として取れる．

が一様連続とは，

と が小数点以下 桁目まで等しい と が小数点以下 桁目まで等しい．

ε-δ論法

が一様連続とは，

普通の連続とどこが違うの？

普通の連続

一様連続

関数列の収束

各点収束

が に各点収束するとは

→ としたとき， が に収束すること．

一様収束

が に一様収束するとは

一様収束，各点収束の性質

一様収束 各点収束

一様収束のほうが，各点収束よりも強い概念である．