微積分学の発展第6回

一様連続関数と積分

一様連続積分可能 関数自体が一様連続でない場合でも，範囲を狭めて一様連続にしてしまえばいい！

2点間の距離が定義された空間

距離空間とは

集合と関数の対，で以下の基準を満たすものである．

非負性：

対称性：

非退化性：

三角不等式：

上の距離：

座標平面上の点に対して，

距離を，

と定義すると，は距離空間となる．

（道が碁盤の目のようになっているときの最短経路）

頂点集合，辺集合のグラフを考えるとき，

上の2つの頂点の間の距離を，

と定義する．ただしは頂点を結ぶパスの集合である．

例）

↓グラフ

graph LR
    a((a)); b((b)); c((c)); d((d)); e((e))
    a --- b
    a --- c
    b --- d
    b --- e
    c --- d

頂点について，

であるから，間の距離はである．

グラフ上の距離は重み付きグラフに対しても定義できる．

いろいろある．

-距離

数列とについて，間の距離を

supとは

集合について，とは，の最小上界のことである．

実数がの上界とはとなること．

有界のさらに強い概念

距離空間が全有界であるとは

任意のに対し，有限個の -開球で空間全体を覆えることを意味する．このを -ネットと呼ぶ．

さらに，同値な言い換えとして，

距離空間がコンパクトであるとは

各点