第2回演習問題

演習

1

が群にならないことを証明せよ．

結合律，単位元については満たすので，逆元が怪しい．

の逆数が存在しないから，これを言えばいい．

逆元の定義 の逆， が示せば良い．

としたとき， をどのようにとっても である．よって，全ての元に対する逆元が存在するわけではないため， は群ではない．

1-2

を集合 上の関数全体の集合とする．このとき， はつねにモノイドになるが，

1. が群とならない が存在することを示せ．
2. が群となる が存在することを示せ．

(1)

演算 の逆元が存在しない場合を考えればいい．すなわち，