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微積分学の発展 第4回

微積分学の発展 第4回

復習

群とは？

の3つを満たすもの．

群の性質

単位元の一意性

命題

群において，単位元はちょうど一つ存在する．

証明

群 の単位元 があったとする．

について，

逆元の存在を考えると，

ここで， について，

よって となり，単位元は高々1つしか存在しない．

逆元の一意性

命題

各要素に対する逆元もちょうど一つ存在する．

証明

の逆元 があったとする．

このとき，

よって， となるため， の逆元は高々1つしか存在しない．

逆元の逆元

命題

群 に対して，
である．

証明

「はの逆元である．」「はの逆元である．」

環の性質

命題

環 において，

証明

和の単位元は 以外には存在しない．実際，先の命題において，

「 となるような が存在するならば， である．」

を証明している．

いま， を考えると， 「 となるような が存在するならば， である」

ということがわかる．

具体的に とすると，

よって， である．

体の性質

命題

体 において，次が成立する．

または

証明

を仮定．

ならば， であることを示せば良い．

体の定義より， の逆元 が存在する．

よって， ．

順序体の性質

命題

順序体において，

証明

⇒ を仮定する．

このとき，両辺に を足すと，

よって， が示された．

⇐

よって， が示された．

参考

このページはHexoとStellarを使用して作成されました。